Умовиводи із суджень з відношеннями

Умовивід, посилки і висновок якого є судженнями з відношеннями, називається умовиводом з відносинами.

Наприклад:

Петро - брат Івана.

Іван - брат Сергія.

-----------------------------

Петро - брат Сергія.

Посилки і висновок у наведеному прикладі - судження з відносинами, що мають логічну структуру xRy, де x і y - поняття про предмети, R - відносини між ними.

Логічним підставою умовиводів з суджень з відношеннями є властивості відносин, найважливіші з яких - 1) симетричність, 2) рефлексивність і 3) транзитивність.

1. Відношення називається симетричним (від грецького simmetria - «домірність»), якщо воно має місце як між предметами x і y, так і між предметами y і x. Інакше кажучи, перестановка членів відношення не веде до зміни виду відносини. Симетричними є відносини рівності (якщо a дорівнює b, то й b одно a), подібності (якщо c подібно з d, то і d схоже з c), одночасності (якщо подія x відбулося одночасно з подією y, значить, і подія y відбулося одночасно з подією x), відмінності і деякі інші.

Ставлення симетричності символічно записується:

xRy → yRx.

2. Відношення називається рефлексивним (від латинського reflexio - «віддзеркалення»), якщо кожен член відношення знаходиться в такому ж відношенні до самого себе. Такі відносини рівності (якщо a = b, то a = a і b = b) і одночасності (якщо подія x відбулося одночасно з подією y, значить, кожне з них відбулося одночасно із самим собою).

Ставлення рефлексивності записується:

xRy → xRx Λ yRy

3. Відношення називається транзитивним (від латинського transitivus - «перехід»), якщо воно має місце між x і z тоді, коли воно має місце між x і y та між y і z. Інакше кажучи, ставлення є транзитивним (перехідним) тоді і тільки тоді, коли з відношення між x і y та між у і z випливає таке ж відношення між x і z.