Умовиводи із суджень з відношеннями
Умовивід, посилки і висновок якого є судженнями з відношеннями, називається умовиводом з відносинами.
Наприклад:
Петро - брат Івана.
Іван - брат Сергія.
-----------------------------
Петро - брат Сергія.
Посилки і висновок у наведеному прикладі - судження з відносинами, що мають логічну структуру xRy, де x і y - поняття про предмети, R - відносини між ними.
Логічним підставою умовиводів з суджень з відношеннями є властивості відносин, найважливіші з яких - 1) симетричність, 2) рефлексивність і 3) транзитивність.
1. Відношення називається симетричним (від грецького simmetria - «домірність»), якщо воно має місце як між предметами x і y, так і між предметами y і x. Інакше кажучи, перестановка членів відношення не веде до зміни виду відносини. Симетричними є відносини рівності (якщо a дорівнює b, то й b одно a), подібності (якщо c подібно з d, то і d схоже з c), одночасності (якщо подія x відбулося одночасно з подією y, значить, і подія y відбулося одночасно з подією x), відмінності і деякі інші.
Ставлення симетричності символічно записується:
xRy → yRx.
2. Відношення називається рефлексивним (від латинського reflexio - «віддзеркалення»), якщо кожен член відношення знаходиться в такому ж відношенні до самого себе. Такі відносини рівності (якщо a = b, то a = a і b = b) і одночасності (якщо подія x відбулося одночасно з подією y, значить, кожне з них відбулося одночасно із самим собою).
Ставлення рефлексивності записується:
xRy → xRx Λ yRy
3. Відношення називається транзитивним (від латинського transitivus - «перехід»), якщо воно має місце між x і z тоді, коли воно має місце між x і y та між y і z. Інакше кажучи, ставлення є транзитивним (перехідним) тоді і тільки тоді, коли з відношення між x і y та між у і z випливає таке ж відношення між x і z.